Odvěsny a přepona

Pythagorova věta mluví jen o pravoúhlém trojúhelníku. Nejdřív se domluvme, jak se která strana jmenuje.

• Odvěsny a, b

  Dvě strany, které svírají pravý úhel. Ten je u vrcholu C.

• Přepona c

  Strana naproti pravému úhlu. Vždycky je ze všech tří nejdelší.

• Zbylé úhly

  Součet α + β je vždy 90°. Táhněte body a sledujte, jak se dopočítávají.

Obsah dvou čtverců
dá přesně třetí

Nad každou stranou postavíme čtverec. Obsah čtverce nad přeponou se rovná součtu obsahů obou zbylých.

• Není to o stranách

  Nesčítáme délky, ale obsahy. Proto ve vzorci vystupují druhé mocniny.

• Platí to pořád

  Posunujte oba jezdce. Rovnost dole zůstává v platnosti pro každý tvar.

• Zpětně k délce

  Z obsahu c² se k délce c dostaneme druhou odmocninou.

Proč to platí

Dva čtverce o stejné straně a + b. V obou leží čtyři shodné trojúhelníky. Liší se jenom tím, jak jsou položené.

Dvě strany znám,
třetí dopočítám

Záleží jen na tom, jestli hledám přeponu, nebo odvěsnu. Podle toho se ve vzorci sčítá, nebo odčítá.

• Hledám přeponu

  c = √(a² + b²). Obsahy obou menších čtverců sečtu.

• Hledám odvěsnu

  a = √(c² − b²). Od velkého čtverce odečtu ten známý.

• Kontrola smyslu

  Přepona musí vyjít delší než každá odvěsna. Jinak je někde chyba.

Je ten trojúhelník
pravoúhlý?

Věta se dá otočit. Když pro nejdelší stranu platí a² + b² = c², je trojúhelník pravoúhlý. Jinak není.

• Rovnost platí

  Trojúhelník je pravoúhlý, pravý úhel leží proti nejdelší straně.

• Levá strana je větší

  a² + b² > c² znamená ostroúhlý trojúhelník.

• Levá strana je menší

  a² + b² < c² znamená tupoúhlý trojúhelník. Zedníci tenhle test používají na vytyčení rohu.

Trojice, které
stojí za zapamatování

Většinou vyjde odmocnina ošklivě. U některých trojic celých čísel ale vychází přesně — a v učebnicích se objevují pořád dokola.

• Základní trojice

  3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, 20-21-29.

• Násobky platí taky

  Z 3-4-5 vznikne 6-8-10 i 30-40-50. Trojúhelník je jen zvětšený.

• Recept na nové

  Z čísel m > n vyjde vždy trojice podle vzorců vpravo. Vyzkoušejte si to.

Kde ji potkáte

Kdykoli je někde pravý úhel a chybí šikmá vzdálenost, je to práce pro Pythagora.

• Žebřík u zdi

  Délka žebříku je přepona. Vzdálenost paty od zdi a výška jsou odvěsny.

• Úhlopříčka obrazovky

  Z poměru stran a úhlopříčky se dopočítá skutečná šířka a výška.

• Vzdálenost v mapě

  Ze souřadnic dvou bodů: rozdíly v ose x a y jsou odvěsny.

Zkuste to sami

Sada se generuje náhodně, takže si každý žák může vzít vlastní. Výsledky vycházejí v celých číslech.

• Postup

  Napište výsledek, tlačítko ho zkontroluje. U chyby se ukáže správný postup.

• Zaokrouhlování

  Stačí přesnost na dvě desetinná místa. Desetinná čárka i tečka fungují.

• Nová sada

  Tlačítkem vygenerujete jiných pět příkladů. Zadání se nikdy neopakuje stejně.